Тема 08. Логические выражения в поисковых запросах

🏠 Главная / Теория / Тема 08. Логические выражения в поисковых запросах

На ОГЭ эта тема проверяет умение применять формулу включений-исключений для подсчёта количества страниц, найденных поисковой системой по разным запросам.

---

## 1. Операторы поискового запроса

| Оператор | Символ | Смысл | Результатов |
|----------|--------|-------|-------------|
| И | `&` | Страницы, где есть **оба** слова | Меньше |
| ИЛИ | `\|` | Страницы, где есть **хотя бы одно** слово | Больше |
| НЕ | `-` или `NOT` | Страницы **без** указанного слова | — |

> **Совет:** "И" — пересечение (сужает поиск). "ИЛИ" — объединение (расширяет поиск).

---

## 2. Диаграмма Эйлера–Венна

Представьте два круга:

```
  ┌───────────────────────┐
  │   A       ╔═══╗   B  │
  │  только   ║ A ║ только│
  │    A      ║ & ║   B  │
  │           ║ B ║      │
  │           ╚═══╝      │
  └───────────────────────┘
```

- Левая часть (только в A): страницы только с первым словом.
- Правая часть (только в B): страницы только со вторым словом.
- Пересечение (A & B): страницы с обоими словами.
- Всё вместе (A | B): все страницы хотя бы с одним словом.

---

## 3. Формула включений-исключений

**Основная формула для двух множеств:**

$$N(A \,|\, B) = N(A) + N(B) - N(A \,\&\, B)$$

Где:
- $N(A)$ — количество страниц по запросу A
- $N(B)$ — количество страниц по запросу B
- $N(A \,\&\, B)$ — страницы по запросу "A И B" (пересечение)
- $N(A \,|\, B)$ — страницы по запросу "A ИЛИ B" (объединение)

**Из этой формулы можно выразить любую переменную:**

$$N(A \,\&\, B) = N(A) + N(B) - N(A \,|\, B)$$

$$N(A) = N(A \,|\, B) - N(B) + N(A \,\&\, B)$$

---

## 4. Типовая задача ОГЭ

**Пример:**
- По запросу "кот" найдено 800 страниц.
- По запросу "мышь" найдено 600 страниц.
- По запросу "кот И мышь" найдено 200 страниц.
- Сколько страниц найдёт запрос "кот ИЛИ мышь"?

**Решение:**

$$N(\text{кот} \,|\, \text{мышь}) = 800 + 600 - 200 = \mathbf{1200}$$

---

**Обратный пример:**
- По запросу "кот" найдено 800 страниц.
- По запросу "мышь" найдено 600 страниц.
- По запросу "кот ИЛИ мышь" найдено 1100 страниц.
- Сколько страниц найдёт запрос "кот И мышь"?

**Решение:**

$$N(\text{кот} \,\&\, \text{мышь}) = 800 + 600 - 1100 = \mathbf{300}$$

---

## 5. Ограничения на значения

**Важные неравенства, которые всегда выполняются:**

$$N(A \,\&\, B) \leq N(A)$$
$$N(A \,\&\, B) \leq N(B)$$
$$N(A \,|\, B) \geq N(A)$$
$$N(A \,|\, B) \geq N(B)$$
$$N(A \,\&\, B) \geq 0$$

> **Совет:** Если в задаче несколько вариантов ответа — проверьте их на соответствие этим неравенствам. Отрицательное пересечение — невозможно.

---

## 6. Случай с тремя множествами

Для трёх запросов A, B, C:

$$N(A|B|C) = N(A) + N(B) + N(C) - N(A\&B) - N(A\&C) - N(B\&C) + N(A\&B\&C)$$

На ОГЭ три множества встречаются редко, но знать формулу полезно.

---

## 7. Типичные ошибки

- **Перепутать & и |.** "И" → меньше результатов. "ИЛИ" → больше.
- **Забыть вычесть пересечение.** При сложении N(A) и N(B) страницы пересечения считаются дважды — надо вычесть один раз.
- **Отрицательное пересечение.** Если формула даёт N(A & B) < 0 — в данных ошибка или неверный вариант ответа.
- **Думать, что A & B всегда маленькое.** Пересечение может быть равно N(A) (если все страницы A входят в B).

---

## 8. Лайфхаки для ОГЭ

> **Совет:** Нарисуйте два пересекающихся круга. Подпишите известные значения. Неизвестное найдите из диаграммы.

> **Совет:** Запомните одну формулу: `|A ИЛИ B| = |A| + |B| - |A И B|`. Из неё выводится всё остальное.

> **Совет:** Быстрая проверка: N(A & B) не может быть больше ни N(A), ни N(B). Если получилось — ищите ошибку.

Назад к списку

🚩 Пожаловаться