Тема 10. Системы счисления

🏠 Главная / Теория / Тема 10. Системы счисления

На ОГЭ эта тема проверяет умение переводить числа между двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной и десятичной системами счисления, а также сравнивать числа из разных систем.

---

## 1. Что такое система счисления

**Система счисления** — способ записи чисел с помощью набора цифр (алфавита).

| Система | Основание | Цифры | Сокращение |
|---------|-----------|-------|-----------|
| Двоичная | 2 | 0, 1 | $_2$ |
| Восьмеричная | 8 | 0–7 | $_8$ |
| Десятичная | 10 | 0–9 | $_10$ |
| Шестнадцатеричная | 16 | 0–9, A–F | $_16$ |

**В шестнадцатеричной:** A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.

---

## 2. Степени двойки — выучить наизусть!

| Степень | Значение |
|---------|---------|
| $2^0$ | 1 |
| $2^1$ | 2 |
| $2^2$ | 4 |
| $2^3$ | 8 |
| $2^4$ | 16 |
| $2^5$ | 32 |
| $2^6$ | 64 |
| $2^7$ | 128 |
| $2^8$ | 256 |
| $2^9$ | 512 |
| $2^{10}$ | 1024 |

> **Совет:** Каждая следующая степень = предыдущая × 2. От 1 идите вправо: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.

---

## 3. Перевод из любой системы в десятичную

**Метод позиционного разложения:**

$$\text{Число}_{p} = d_n \cdot p^n + d_{n-1} \cdot p^{n-1} + \ldots + d_1 \cdot p^1 + d_0 \cdot p^0$$

Цифры нумеруются справа налево, начиная с 0.

### Из двоичной в десятичную:

$$1011_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}$$

$$11010_2 = 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 26_{10}$$

### Из шестнадцатеричной в десятичную:

$$2F_{16} = 2 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 32 + 15 = 47_{10}$$

$$A3_{16} = 10 \cdot 16 + 3 = 163_{10}$$

### Из восьмеричной в десятичную:

$$357_8 = 3 \cdot 64 + 5 \cdot 8 + 7 \cdot 1 = 192 + 40 + 7 = 239_{10}$$

---

## 4. Перевод из десятичной в другую систему

**Метод последовательного деления:**

1. Делить число на основание новой системы.
2. Записывать остатки.
3. Результат — остатки в **обратном порядке** (снизу вверх).

### Пример: $26_{10}$ → двоичная

| Деление | Частное | Остаток |
|---------|---------|---------|
| 26 ÷ 2 | 13 | **0** |
| 13 ÷ 2 | 6 | **1** |
| 6 ÷ 2 | 3 | **0** |
| 3 ÷ 2 | 1 | **1** |
| 1 ÷ 2 | 0 | **1** |

Читаем остатки снизу вверх: $26_{10} = 11010_2$ ✓

### Пример: $47_{10}$ → шестнадцатеричная

| Деление | Частное | Остаток |
|---------|---------|---------|
| 47 ÷ 16 | 2 | **15 = F** |
| 2 ÷ 16 | 0 | **2** |

Читаем снизу вверх: $47_{10} = 2F_{16}$ ✓

---

## 5. Быстрый перевод: двоичная ↔ шестнадцатеричная

Каждые **4 двоичных цифры** соответствуют **1 шестнадцатеричной**:

| Двоичная | Шестнадцатеричная |
|----------|------------------|
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |

**Пример:** $10111100_2$ → группируем по 4 справа: `1011 1100` → `B C` → $BC_{16}$

**Обратно:** $3A_{16}$ → `3=0011`, `A=1010` → $00111010_2 = 111010_2$

---

## 6. Быстрый перевод: двоичная ↔ восьмеричная

Каждые **3 двоичных цифры** → **1 восьмеричная**:

| Двоичная | Восьмеричная |
|----------|-------------|
| 000 | 0 |
| 001 | 1 |
| 010 | 2 |
| 011 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |

**Пример:** $101110_2$ → группируем по 3: `101 110` → `5 6` → $56_8$

---

## 7. Сравнение чисел из разных систем

**Метод:** Перевести все числа в десятичную, затем сравнить.

**Пример:** Расставить по возрастанию: $1101_2$, $13_8$, $B_{16}$, $12_{10}$.

- $1101_2 = 13_{10}$
- $13_8 = 11_{10}$
- $B_{16} = 11_{10}$
- $12_{10} = 12_{10}$

Порядок: $13_8 = B_{16}$ < $12_{10}$ < $1101_2$

---

## 8. Типичные ошибки

- **Читать остатки сверху вниз** вместо снизу вверх при переводе в другую систему.
- **Забыть дополнить до 4 цифр** при переводе в hex. Если группа неполная — дополняем нулями слева: `11` → `0011`.
- **Перепутать A–F и их значения.** A=10, не 11. F=15, не 16.
- **Использовать цифру >= основания.** В восьмеричной нет цифры 8 или 9!

---

## 9. Лайфхаки для ОГЭ

> **Совет:** Для перевода в двоичную и обратно удобнее всего использовать таблицу степеней двойки. Заучите её до 2^10.

> **Совет:** Перевод двоичная ↔ hex через группы по 4 — самый быстрый способ на экзамене. Без вычислений!

> **Совет:** Если нужно сравнить числа — всегда переводите в десятичную. Это универсальный метод.

> **Совет:** При делении на 2 — просто смотрите, чётное ли число (остаток 0) или нечётное (остаток 1). Это быстрее, чем делить.

Назад к списку

🚩 Пожаловаться