Задача: DC0899

Вычислите значение арифметического выражения: 101111112 + 11108 + 10116 В ответе запишите десятичное число, основание системы счисления указывать не нужно. --- Номер задачи: DC0899 📚 # Тема 10. Системы счисления На ОГЭ эта тема проверяет умение переводить числа между двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной и десятичной системами счисления, а также сравнивать числа из разных систем. --- ## 1. Что такое система счисления **Система счисления** — способ записи чисел с помощью набора цифр (алфавита). | Система | Основание | Цифры | Сокращение | |---------|-----------|-------|-----------| | Двоичная | 2 | 0, 1 | $_2$ | | Восьмеричная | 8 | 0–7 | $_8$ | | Десятичная | 10 | 0–9 | $_10$ | | Шестнадцатеричная | 16 | 0–9, A–F | $_16$ | **В шестнадцатеричной:** A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. --- ## 2. Степени двойки — выучить наизусть! | Степень | Значение | |---------|---------| | $2^0$ | 1 | | $2^1$ | 2 | | $2^2$ | 4 | | $2^3$ | 8 | | $2^4$ | 16 | | $2^5$ | 32 | | $2^6$ | 64 | | $2^7$ | 128 | | $2^8$ | 256 | | $2^9$ | 512 | | $2^{10}$ | 1024 | > **Совет:** Каждая следующая степень = предыдущая × 2. От 1 идите вправо: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. --- ## 3. Перевод из любой системы в десятичную **Метод позиционного разложения:** $$\text{Число}_{p} = d_n \cdot p^n + d_{n-1} \cdot p^{n-1} + \ldots + d_1 \cdot p^1 + d_0 \cdot p^0$$ Цифры нумеруются справа налево, начиная с 0. ### Из двоичной в десятичную: $$1011_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}$$ $$11010_2 = 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 26_{10}$$ ### Из шестнадцатеричной в десятичную: $$2F_{16} = 2 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 32 + 15 = 47_{10}$$ $$A3_{16} = 10 \cdot 16 + 3 = 163_{10}$$ ### Из восьмеричной в десятичную: $$357_8 = 3 \cdot 64 + 5 \cdot 8 + 7 \cdot 1 = 192 + 40 + 7 = 239_{10}$$ --- ## 4. Перевод из десятичной в другую систему **Метод последовательного деления:** 1. Делить число на основание новой системы. 2. Записывать остатки. 3. Результат — остатки в **обратном порядке** (снизу вверх). ### Пример: $26_{10}$ → двоичная | Деление | Частное | Остаток | |---------|---------|---------| | 26 ÷ 2 | 13 | **0** | | 13 ÷ 2 | 6 | **1** | | 6 ÷ 2 | 3 | **0** | | 3 ÷ 2 | 1 | **1** | | 1 ÷ 2 | 0 | **1** | Читаем остатки снизу вверх: $26_{10} = 11010_2$ ✓ ### Пример: $47_{10}$ → шестнадцатеричная | Деление | Частное | Остаток | |---------|---------|---------| | 47 ÷ 16 | 2 | **15 = F** | | 2 ÷ 16 | 0 | **2** | Читаем снизу вверх: $47_{10} = 2F_{16}$ ✓ --- ## 5. Быстрый перевод: двоичная ↔ шестнадцатеричная Каждые **4 двоичных цифры** соответствуют **1 шестнадцатеричной**: | Двоичная | Шестнадцатеричная | |----------|------------------| | 0000 | 0 | | 0001 | 1 | | 0010 | 2 | | 0011 | 3 | | 0100 | 4 | | 0101 | 5 | | 0110 | 6 | | 0111 | 7 | | 1000 | 8 | | 1001 | 9 | | 1010 | A | | 1011 | B | | 1100 | C | | 1101 | D | | 1110 | E | | 1111 | F | **Пример:** $10111100_2$ → группируем по 4 справа: `1011 1100` → `B C` → $BC_{16}$ **Обратно:** $3A_{16}$ → `3=0011`, `A=1010` → $00111010_2 = 111010_2$ --- ## 6. Быстрый перевод: двоичная ↔ восьмеричная Каждые **3 двоичных цифры** → **1 восьмеричная**: | Двоичная | Восьмеричная | |----------|-------------| | 000 | 0 | | 001 | 1 | | 010 | 2 | | 011 | 3 | | 100 | 4 | | 101 | 5 | | 110 | 6 | | 111 | 7 | **Пример:** $101110_2$ → группируем по 3: `101 110` → `5 6` → $56_8$ --- ## 7. Сравнение чисел из разных систем **Метод:** Перевести все числа в десятичную, затем сравнить. **Пример:** Расставить по возрастанию: $1101_2$, $13_8$, $B_{16}$, $12_{10}$. - $1101_2 = 13_{10}$ - $13_8 = 11_{10}$ - $B_{16} = 11_{10}$ - $12_{10} = 12_{10}$ Порядок: $13_8 = B_{16}$ < $12_{10}$ < $1101_2$ --- ## 8. Типичные ошибки - **Читать остатки сверху вниз** вместо снизу вверх при переводе в другую систему. - **Забыть дополнить до 4 цифр** при переводе в hex. Если группа неполная — дополняем нулями слева: `11` → `0011`. - **Перепутать A–F и их значения.** A=10, не 11. F=15, не 16. - **Использовать цифру >= основания.** В восьмеричной нет цифры 8 или 9! --- ## 9. Лайфхаки для ОГЭ > **Совет:** Для перевода в двоичную и обратно удобнее всего использовать таблицу степеней двойки. Заучите её до 2^10. > **Совет:** Перевод двоичная ↔ hex через группы по 4 — самый быстрый способ на экзамене. Без вычислений! > **Совет:** Если нужно сравнить числа — всегда переводите в десятичную. Это универсальный метод. > **Совет:** При делении на 2 — просто смотрите, чётное ли число (остаток 0) или нечётное (остаток 1). Это быстрее, чем делить.